Ce chapitre est la suite du préambule sur les équations horaires que tu dois bien maîtriser avant de lire ce qui suit. Passons maintenant aux choses sérieuses ! Il faut que tu retiennes bien les étapes que l’on vient de voir ce sera tout le temps la même chose !
Commençons tout d’abord par traiter le problème simple de la chute libre dans le vide. Considérons un point matériel de masse \(m\) en chute libre dans un champ de pesanteur uniforme. Le mouvement uniformément accéléré est alors soit rectiligne soit plan. Si le corps est lancé avec une vitesse initiale colinéaire à \(\overrightarrow{g}\), la trajectoire est nécessairement rectiligne puisque l'accélération est à chaque instant colinéaire à la vitesse.
Notons \(z(t)\) l'altitude du point matériel à l'instant \(t\) et \(h\) l'altitude initiale. Il est facile de montrer que le corps atteint le sol avec une vitesse \(v_\text{s}=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}\). La vitesse de chute est indépendante de la masse et de la forme du corps.
En fait nous avons une balle qui est lancée vers le haut ET vers l’avant depuis une hauteur h. Le vecteur vitesse initiale v0 fait un angle α avec l’horizontale.
Si initialement le corps est lancé avec un vecteur vitesse non colinéaire à \(\overrightarrow{g}\), la trajectoire n'est plus rectiligne. Plaçons le corps matériel à l'origine d'un système d'axes \((x\text{O}z)\) et lançons le avec une vitesse \(\overrightarrow{v_{0}}\) formant un angle \(\theta\) par rapport à l'axe \((\text{O}x)\). Le mouvement suivant \((\text{O}x)\) est uniforme. Le mouvement suivant \((\text{O}z)\) est uniformément accéléré.
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Nous allons donc chercher à déterminer et décrire le mouvement du point matériel M de masse $m$. Pour cela, il faut pouvoir le repérer dans l'espace. Pour que le repérage dans l'espace du point M soit optimal, on ajoute une origine O à la base : l'ensemble d'une base et d'une origine constituent un repère. Nous verrons par la suite que plusieurs bases existent. Certaines sont fixes, d'autres mobiles. Ces bases sont appelées bases de projection, dans le sens où le traitement d'un problème de mécanique impose de projeter des grandeurs vectorielles (force, vecteur position, ...).
La base de projection doit être choisie de telle sorte qu'elle permette une résolution aisée du problème. Avec quelques habitudes, on sait laquelle est la plus judicieuse. Il faut souligner ici la différence entre référentiel et base : on décrit le mouvement d'un corps par rapport à un référentiel, mais pour se faire, on peut choisir d'utiliser différentes bases. Cette base est fixe, la direction de chaque vecteur unitaire est constante.
Le point M sera repéré dans cette base cartésienne par trois coordonnées, une position de M dans cette base sera notée M($x$,$y$,$z$). Notre premier problème étant à une dimension, on choisira comme axe de travail un des axes du repère cartésien. Pour un mouvement vertical, on utilise généralement la direction donnée par $\overrightarrow{e}_z$ : l'axe est donc vertical ascendant.
C’est parti !
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} a_x = 0 \\ a_z = -g \end{array} \right.\)
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} v_x = K \\ v_z = -gt + K \end{array} \right.\)
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} v_x(0) = K \\ v_z(0) = -g \times 0 + K’ \end{array} \right.\)
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} v_x(0) = K \\ v_z(0) = K’ \end{array} \right.\)
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} v_x = v_0 \times cos(\alpha) \\ v_z = -gt + v_0\times sin(\alpha) \end{array} \right.\)
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} x = v_0 \times cos(\alpha) \times t + C \\ z = -g\frac{t^2}{2} + v_0\times sin(\alpha) \times t + C’ \end{array} \right.\)
Comme tu vois les expressions (surtout celle de z) sont un peu plus longues que dans l’exercice de la chute verticale.
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} x(0) = v_0 \times cos(\alpha) \times 0 + C \\ z(0) = -g\frac{0^2}{2} + v_0\times sin(\alpha) \times 0 + C \end{array} \right.\)
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} x(0) = C \\ z(0) = C’ \end{array} \right.\)
Donc C = 0 et C’ = h.
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} x = v_0 \times cos(\alpha) \times t \\ z = -g\frac{t^2}{2} + v_0\times sin(\alpha) \times t + h \end{array} \right.\)
Et là, OUFFFFFF ! On a donc les valeurs de x et z en fonction de t. Mais on va souvent te demander l’équation de la trajectoire, c’est-à-dire z en fonction de x, un peu comme une fonction en mathématiques.
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} t = \frac{x}{v_0 \times cos(\alpha)} \\ z = -g\frac{(\frac{x}{v_0 \times cos(\alpha)})^2}{2} + v_0\times sin(\alpha) \times \frac{x}{v_0 \times cos(\alpha)} + h \end{array} \right.\)
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} t = \frac{x}{v_0 \times cos(\alpha)} \\ z = -g\frac{x^2}{2 v_0^2cos^2(\alpha)} + x \times tan(\alpha) + h \end{array} \right.\)
On peut donc tracer la trajectoire dans un repère. En effet, on remarque que l’on a un polynôme du second degré, donc une parabole, tournée vers le bas car le coefficient du x2 est négatif. Cependant, la trajectoire ne sera pas exactement pareille dans la réalité, car on a négligé quelque chose… les frottements de l’air !
Tout d’abord le sommet de la trajectoire, c’est-à-dire le point le plus haut atteint par l’objet. On peut calculer les deux coordonnées de ce point, que l’on notera xS et zS. En effet, au sommet, la balle ne montera plus, donc LA VITESSE VERTICALE EST NULLE : vz = 0 m.s-1.
Ce t correspond au temps mis par la balle pour arriver au sommet.
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} x_S = v_0 \times cos(\alpha) \times t_S \\ z_S = -g\frac{t_S^2}{2} + v_0\times sin(\alpha) \times t_S + h \end{array} \right.\)
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} x_S = \frac{v_0^2 \times cos(\alpha) \times sin(\alpha)}{g} \\ z_S = -g\frac{t_S^2}{2} + v_0\times sin(\alpha) \times t_S + h \end{array} \right.\)
Et là, oh magie ! on retrouve évidemment la même expression pour xS que précédemment. Ainsi, dans cette deuxième méthode tu n’auras pas à calculer l’équation de la trajectoire, mais tu devras calculer le temps t au bout duquel la balle atteint le sommet (du coup tu calcules en même temps cette durée, si elle est demandé dans l’énoncé ça fait deux questions de résolues^^), alors que dans la première méthode tu devais calculer l’équation de la trajectoire.
On peut également te demander à quelle distance ou à quel moment va tomber la balle. Si on demande à quel moment va tomber la balle, on résout z(t) = 0. Parmi x1 et x2, il y en aura toujours un positif et un négatif (dans ce type d’exercices), et la distance que l’on cherche est bien sûr la positive.
Ce genre de questions est plutôt rare, SAUF dans un cas particulier que nous allons étudier (et là tu vas voir que c’est beaucoup plus simple). Donc x = 0 ou (…) = 0, sauf que x = 0 correspond à l’origine, ce qui ne nous intéresse pas (mais ce qui est normal puisque à x = 0 on a bien z = 0 car la balle part de l’origine).
Supposons que tu aies un corps qui roule d'une falaise avec une vitesse de 5 m/s. Le corps touche le sol à une distance d de la base d'une falaise qui a une hauteur de 30 m. La figure 3 montre le mouvement du projectile sans angle, c'est-à-dire lancé parallèlement à l'horizontale.
Pour calculer d, la distance à partir de la base de la falaise, nous devons mieux comprendre le mouvement dans les directions x et y. En supposant qu'il n'y a pas de résistance de l'air et que seule la force gravitationnelle agit sur la balle, la vitesse dans la direction x sera de 5m/s jusqu'à ce que la balle touche le sol. Dans la direction y, la balle a une accélération constante de 9,81m/s2, qui est causée par la force gravitationnelle. Mais quelle est la vitesse initiale dans la direction y ?
Comme nous l'avons mentionné précédemment, étant donné que les mouvements dans les directions x et y sont indépendants l'un de l'autre, la vitesse de 5m/s dans la direction x n'a aucun impact sur le mouvement dans la direction y. Par conséquent, la balle roule de la falaise avec une vitesse initiale de 0m/s dans la direction y.
Le déplacement horizontal sera de -30 m parce que la direction descendante est considérée comme négative ainsi que l'accélération de la chute libre, qui est de -9,81 m/s2.
Pour la direction x :
Pour la direction y :
À partir du mouvement dans la direction y, nous pouvons calculer le temps t car le temps est le même dans les directions x et y. En utilisant la deuxième équation du mouvement et en introduisant les valeurs, nous obtenons :
\[s_y = u_y \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2\]
\[-30 m = 0 \cdot t + \frac{1}{2} (9,81 m/s^2) \cdot t^2\]
\[t = 2,47 s\]
Par conséquent, le temps mis par la balle pour atteindre le sol depuis une hauteur de 30 m est de 2,47 s.
Pour calculer la distance parcourue depuis la base de la falaise dx, nous utilisons à nouveau la deuxième équation du mouvement, mais cette fois-ci pour le mouvement dans la direction x.
Au cœur de l'accélération du mouvement d'un projectile se trouvent quelques éléments fondamentaux. Le premier élément, et peut-être le plus évident, est la gravité. La gravité, et plus précisément l'accélération gravitationnelle, est la force motrice singulière de l'accélération dans le mouvement des projectiles. L'accélération gravitationnelle désigne le taux d'accélération constant que la gravité imprime aux objets en chute libre.
Dans les considérations théoriques sur le mouvement des projectiles, nous négligeons généralement la résistance de l'air. Cela implique un état proche du vide où la seule force exercée sur le projectile est la gravité. Larésistance de l'air est une force de frottement que l'air exerce sur un objet en mouvement. Elle est directionnelle et s'oppose toujours au mouvement de l'objet.
À faible vitesse ou pour des objets petits et denses, la résistance de l'air est généralement insignifiante par rapport aux autres forces et peut être ignorée. À plus grande vitesse ou pour des objets plus grands et plus légers, la résistance de l'air peut devenir substantielle et doit être prise en compte.
Le concept de mouvement indépendant fait partie intégrante de la compréhension de l'accélération dans le mouvement d'un projectile. Le principe du mouvement indépendant stipule que les mouvements horizontaux et verticaux d'un projectile soumis à la gravité sont indépendants les uns des autres.
Lagravité étant le facteur crucial, elle imprime une force à l'objet qui accélère vers le bas. Cette force est constante et ne change pas, quelle que soit la position ou la vitesse de l'objet. Larésistance de l'air en revanche, si elle est prise en compte, affecte le mouvement en s'opposant à la direction du projectile.
Dans la phase ascendante, elle s'ajoute à l'effet de la gravité, ce qui fait que le projectile ralentit plus vite qu'il ne le ferait sous l'effet de la seule gravité. Dans la phase descendante, la résistance de l'air ralentirait la descente de l'objet.
À bien des égards, la physique consiste à appliquer des principes abstraits à des situations concrètes de la vie réelle. L'une des situations les plus courantes que nous rencontrons est l'accélération d'un projectile. Non seulement ce concept offre une plateforme visuellement intuitive pour explorer les lois de la physique, mais il présente également une variété de problèmes intéressants pour tester la compréhension et l'application de ces lois.
Les situations de la vie réelle nous offrent de nombreuses possibilités d'exercices pour comprendre le mouvement d'un projectile et son accélération. Elles concernent plusieurs disciplines, notamment le sport, l'astronomie, la balistique et bien d'autres encore.
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