Commençons par un peu de formalisme pour bien poser le cadre mathématique dans lequel on étudie les systèmes dynamiques dont on a parlé. Pour les systèmes en temps discret, le jeu est relativement simple. On a des variables qui décrivent l’état du système. Pour les systèmes en temps continu, c’est plus subtil. Imaginons que l’on ait un certain nombre N de variables numériques décrivant l’état de notre système à un instant donné : \(x_1, x_2, x_3…x_N\).
L’espace des états possible (l’espace dans lequel X prend ses valeurs) est appelé espace des phases. On reviendra sur ce terme. Toute l’évolution du système est contenue dans cette fonction F. Autre représentation alternative de F, la voir comme un champ de vecteurs. F nous donne l’évolution de X en renvoyant un vecteur en chaque point de l’espace des phases.
Pour calculer une trajectoire à partir d’un point de l’espace des phases dans ce champ de vecteur, c’est en principe très simple : on suit les flèches ! « Suivre les flèches » est la version graphique de la méthode de calcul que j’ai présentée ci-dessus, où on fait une simulation par petits intervalles de temps discret.
Une précision importante : j’ai parlé dans ma vidéo de systèmes qui ne sont pas a priori régis par une équation d’évolution du 1er ordre, mais du 2nd ordre. Dans ce cas il y a une façon simple d’en faire un système du premier ordre : dédoubler les variables. On regroupe donc les 2 variables dans un vecteur, et on est bons. Pour le pendule simple, l’espace des phases est donc à 2 dimensions, et pour le pendule double, à 4 dimensions. On voit donc que l’espace des phases du système de Lorenz est d’une dimension inférieure à celui du double pendule. D’ailleurs c’est l’occasion de revenir sur une affirmation de la vidéo qui vous a peut-être choquée : mathématiquement, deux orbites ne peuvent jamais se croiser. Ici, on parle bien d’orbites dans l’espace des phases ! Les orbites de deux planètes peuvent très bien se croiser en un même point de l’espace, mais pas de l’espace des phases !
Tout d’abord, laissez moi mentionner l’article fondateur de Lorenz que je n’ai pas cité explicitement. Je vous le recommande car il est d’une rare profondeur. Lorenz, E. N. (1963). Pour l’origine de l’équation, on peut en gros s’imaginer qu’on part d’un modèle complet d’une couche de fluide soumis à la gravité et à un gradient de température : chaud en bas, froid en haut. Le modèle de Lorenz s’obtient grossièrement à partir d’une équation initiale, qu’on va simplifier en ne gardant que les modes principaux. Le système d’équation possède 3 paramètres, j’ai repris les valeurs numériques classiques qui figuraient dans l’article de Lorenz. \(\rho\) est en gros le nombre de Rayleigh, et on le prend suffisamment élevé pour que la convection se déclenche.
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Il n’y a pas de définition absolument unifiée de ce qui définit un système chaotique. Pour qualifier et quantifier l’effet papillon, on utilise une définition mathématiquement plus précise : on a un système chaotique si deux points très proches initialement divergent dans le temps avec une trajectoire exponentielle. Prenons deux points \(x_A\) et \(x_B\) séparés initialement par une distance \(\Delta x(0)\) faible. Le coefficient \(\gamma\) décrit l’intensité de la divergence, et on l’appelle l’exposant de Lyapunov. Physiquement, il est homogène à l’inverse d’un temps, donc on peut le mettre sous une autre forme en écrivant \(\gamma = 1/\tau\) et avoir une divergence en \(e^{t/\tau}\). Dans ce cas on appelle \(\tau\) le temps de Lyapunov, et il correspond en gros au temps au bout duquel deux trajectoires initialement proches auront bien divergé.
Mais pour bien qualifier un système chaotique, cette divergence exponentielle ne suffit pas. Vous pouvez vous convaincre que par construction, deux points initialement très proches vont diverger de façon exponentielle…et pourtant on peut difficilement le qualifier de système chaotique ! Pour faire la discrimination avec les « vrais » systèmes chaotiques, on peut ajouter une condition supplémentaire : celle du mélange des trajectoires. Dans la version initiale de la vidéo j’avais présenté la petite simulation suivante : on prend plein de points dans l’intervalle \(0.37 \pm 10^{-9}\) (courbe en noir), et plein de points dans l’intervalle \(0.55 \pm 10^{-9}\).
Mathématiquement, dans un système chaotique, si on prend deux petits intervalles ouverts quelconques, aussi petits qu’on veut, et qu’on simule leur évolution, au bout d’un certain temps les trajectoires seront totalement mélangées. On trouve parfois une troisième condition : l’existence d’orbites périodiques denses. En réalité les systèmes continus et les systèmes discrets ne sont pas comme deux mondes à part.
Avant de parler de cette idée, qu’il me soit permit de dire un mot de Poincaré, qui d’une certaine manière peut être considéré comme l’un des premiers découvreurs de l’effet papillon. Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l’univers à l’instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu’approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c’est tout ce qu’il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu’il est régi par des lois ; mais il n’en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers.
Revenons à la section de Poincaré. L’idée est assez simple : prenez un système continu en dimension D (pensez à celui de Lorenz, donc D=3) et considérez un hyperplan de l’espace des phases, de dimension D-1. Les trajectoires vont croiser de nombreuses fois ce plan, et on peut considérer les points d’intersection successifs au fur et à mesure que la trajectoire se prolonge. Lorenz lui même avait déjà imaginé une astuce de ce genre. Il avait suggéré que les deux ailes de son attracteur semblaient se recoller au niveau d’un segment, et que toute trajectoire sembler passer par ce segment de façon périodique. On peut donc considérer l’application qui a un point du segment associe le point suivant sur la trajectoire.
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D’ailleurs le caractère chaotique de la fonction logistique n’est pas du tout spécifique de cette fonction en particulier. Encore plus fort, ce qu’on a observé sur le diagramme de bifurcation de la fonction logistique est en fait assez générique. On a donc vu que \(r_1=3\), puis que \(r_2\approx 3.449\), et \(r_3\approx 3.544\). On a remarqué que les intervalles sont de plus en plus petits. Ce qui est extraordinaire, c’est que cette constante est la même pour toutes les transformations du même genre. Et d’ailleurs on retrouve la même chose pour l’ensemble de Mandelbrot que j’ai juste figuré via la vidéo de El JJ.
C’est du coup le bon moment pour commenter un peu plus les liens qui unissent la théorie du chaos et les fractales. Tout d’abord, si vous connaissez par exemple l’ensemble de Mandelbrot, vous voyez qu’il existe au moins un lien : la notion d’itération successive d’une application. De façon plus philosophique, on peut comprendre le lien entre fractales et systèmes chaotiques par l’idée générale que aussi proches que soient deux points dans l’espace, ils peuvent « être loin » du point de vue des propriétés. Dans le système chaotique, parce que l’évolution du système va les séparer de façon exponentielle. Dans les fractales parce que, par exemple, si on prend une courbe fractale (pensez à la côte bretonne), deux points très proches « à vol d’oiseau » peuvent se trouver à grande distance l’un de l’autre si on suit la courbe. Si on creuse un peu, on peut montrer que certains attracteurs étrange on une structure qui est en gros le produit d’un sous-espace « normal » par un sous-espace fractal du type « ensemble de Cantor« .
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