La méthode de tir est une technique numérique utilisée pour résoudre des équations différentielles, en particulier celles qui décrivent des problèmes de valeurs aux limites. Elle consiste à transformer le problème de valeurs aux limites en un problème de valeurs initiales, puis à ajuster les conditions initiales jusqu'à ce que la solution satisfasse les conditions aux limites données.
Le principe d'équivalence est la pierre angulaire de la théorie de la Relativité Générale proposée par Albert Einstein en 1915 pour traiter la gravitation dans un cadre relativiste. En l'état actuel de nos connaissances, ce principe ne trouve pas d'explication, ce qui explique qu'on l'érige en principe.
Pour tous les corps, la masse grave est proportionnelle à la masse inerte. Plus exactement, le rapport \(k=m^{*}/m\) est indépendant de la composition chimique. Une conséquence de ce principe est l’universalité de la chute libre dans le vide. Ainsi, une plume et un marteau tombent à la même vitesse dans le vide.
Avant la fin du XIXe siècle, l’étude précise de l’isochronisme des pendules permit de vérifier le principe d’équivalence avec une précision de 10-5 près (Bessel 1830). On doit au Baron Von Eötvös, un scientifique hongrois, un test du principe d’équivalence en 1890, avec un gain de précision de trois ordres de grandeur.
Eötvös inventa une balance de torsion capable de mesurer très précisément les variations de pesanteur et réalisa que son appareil pouvait également servir à tester le principe d’équivalence : deux masses de composition différente sont suspendues aux extrémités d’un pendule de torsion ; la mesure consiste à vérifier que le bras du pendule tourne de 180° lorsque la tête du fil de suspension tourne de la même quantité.
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Les masses subissant l’attraction gravitationnelle de la Terre et la force centrifuge due à la rotation de celle-ci, une différence devait être enregistrée si le rapport \(k=m^{*}/m\) dépendait de la composition chimique. Eötvös vérifia ainsi le principe d’équivalence avec une précision de 5.10-8.
A partir de la fin du XXe siècle, des expériences de chute libre dans des tours à vide furent également réalisées. Dans ces tours, la précision est limitée par la résistance de l’air résiduel et par le bruit sismique. Elle est de l’ordre de 10-10-10-12 tout de même.
Le meilleur vide que l’on connaît étant celui qui règne dans l’espace, l’étude des astres du système solaire en chute libre dans le champ de gravitation du Soleil permet également de tester le principe d’équivalence. Par exemple, grâce aux réflecteurs installés sur la Lune lors des missions Apollo, les scientifiques peuvent, par télémétrie laser, mesurer précisément la position de la Lune.
Les compositions internes de la Terre et de la Lune étant différentes, ces deux astres devraient être accélérés différemment vers le Soleil en cas de violation du principe d’équivalence.
Commençons tout d’abord par traiter le problème simple de la chute libre dans le vide. Considérons un point matériel de masse \(m\) en chute libre dans un champ de pesanteur uniforme.
Si le corps est lancé avec une vitesse initiale colinéaire à \(\overrightarrow{g}\), la trajectoire est nécessairement rectiligne puisque l'accélération est à chaque instant colinéaire à la vitesse. Notons \(z(t)\) l'altitude du point matériel à l'instant \(t\) et \(h\) l'altitude initiale.
Il est facile de montrer que le corps atteint le sol avec une vitesse \(v_\text{s}=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}\). La vitesse de chute est indépendante de la masse et de la forme du corps. Notez que cette loi est la même que celle à laquelle obéissent les liquides peu visqueux lors de la vidange d’un récipient cylindrique.
Si initialement le corps est lancé avec un vecteur vitesse non colinéaire à \(\overrightarrow{g}\), la trajectoire n'est plus rectiligne. Plaçons le corps matériel à l'origine d'un système d'axes \((x\text{O}z)\) et lançons le avec une vitesse \(\overrightarrow{v_{0}}\) formant un angle \(\theta\) par rapport à l'axe \((\text{O}x)\).
Le mouvement suivant \((\text{O}x)\) est uniforme. Le mouvement suivant \((\text{O}z)\) est uniformément accéléré. La portée \(x_{\rm max}\) du lancé désigne la distance à laquelle retombe le projectile.
Envisageons maintenant la présence de frottements et cherchons l'influence qu'ils ont sur la trajectoire et la vitesse.
Lâchons un corps matériel de masse \(m\), de volume \(V\) et de masse volumique \(\rho\) dans un fluide de masse volumique \(\rho_\text{f}\). On observe une phase accélérée suivie d'un mouvement uniforme à la vitesse \(v_{\infty}\) dite vitesse limite.
En effet, à suffisamment grande vitesse, la force de frottement \(F_\text{t}\) compense les effets de la pesanteur (poussée d'Archimède inclue) ce qui impose une accélération nulle et donc une vitesse constante. La vitesse limite dépend donc de la masse et du fluide.
La vitesse limite s'écrit \(v_{\infty}=mg'/\alpha\). A partir de la vitesse limite et de la pesanteur apparente, on peut construire une grandeur homogène à un temps que nous appellerons \(\tau=v_{\infty}/g'\).
Le temps caractéristique \(\tau\) représente donc le temps de relaxation de la vitesse. Pour une durée de \(5\tau\) on fait une erreur inférieure à 1% en écrivant \(v \simeq v_{\infty}\).
La vitesse croît donc de façon monotone jusqu'à la vitesse limite et ce régime accéléré a une durée caractéristique de l'ordre de \(\tau\). Il est également possible d'exprimer la vitesse en fonction de la distance parcourue \(s=h-z\).
Lorsque \(s\ll \ell\) on retrouve, par un développement limité, que \(v \simeq \sqrt{2g's}\).
Traitons maintenant le problème du mouvement d'un corps lancé avec une vitesse initiale \(\overrightarrow{v_{0}}\) dans un fluide visqueux. Considérons le cas le plus courant pour lequel la force de frottement est quadratique en vitesse \(\overrightarrow{F_\text{t}}=-\beta v \overrightarrow{v}\).
Il existe de nombreuses méthodes numériques pour résoudre ce type d’équations[5]. Les différences avec la chute libre tiennent essentiellement dans la diminution de la portée et de la flèche de la trajectoire ainsi que dans l’apparition d’une asymptote verticale.
En effet, le mouvement suivant (Ox) n’étant que freiné, la vitesse \(v_{x}\) ne cesse de diminuer jusqu’à s’annuler.
Lâchons une bille d’acier \((\rho=7850\;\mathrm{kg.m^{-3}})\) de diamètre 12,6 mm dans l’air \((\rho_\text{f}=1{,}2\;\mathrm{kg.m^{-3}})\). Les tables indiquent que le coefficient aérodynamique d’une sphère vaut environ \(C_{x}=0{,}44\) à suffisamment grande vitesse. Lâchons maintenant cette bille dans l’eau \((\rho_\text{f}\simeq 1000\;\mathrm{kg.m^{-3}})\).
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