La recherche présentée dans cet article s’intéresse aux techniques d’étude des élèves lors de leur travail personnel hors classe en mathématiques.
Dans la première partie de cet article, nous présentons l’ancrage théorique choisi, ainsi que la méthodologie utilisée pour obtenir des éléments de réponses à notre question. Dans la deuxième partie, nous détaillons deux études de cas. Elles nous permettent de mettre en exergue les différences de rapports à l’étude des mathématiques qu’établissent deux élèves, dont l’une est jugée d’un niveau faible en mathématiques par son professeur et l’autre d’un bon niveau.
Dans le champ de la didactique des mathématiques, il est communément reconnu que tout processus d’étude nécessite l’existence d’un milieu ; qu’il soit adidactique, c’est-à-dire dénué d’intentions, défini comme tel en Théorie des Situations Didactiques, ou qu’il contienne des médias portant, de par leur nature, l’intention d’informer.
Le modèle du schéma herbartien, tel qu’il est travaillé en Théorie Anthropologique du Didactique (TAD), tient compte de ces deux dimensions. Jusqu’à présent, il a été essentiellement utilisé comme élément de modélisation de l’étude au sein du système didactique. Nous le faisons fonctionner au sein du système particulier constitué d’un élève qui étudie hors de la classe, avec l’aide ou non d’une tierce personne.
Pour étudier des mathématiques hors du temps scolaire, l’élève que l’on note x rassemble un ensemble d’œuvres O consignées dans diverses ressources - cahiers de cours et d’exercices, manuels, sites Internet, échanges avec des camarades, des adultes, etc. - qui constituent une partie du milieu d’étude. Dans le cas général, ces œuvres O servent à construire une ou des réponses R à des questions Q à partir des données D qu’elles fournissent pour cela.
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À travers le questionnement de l’objet de l’étude o, se constitue une question notée Q, ainsi que des sous-questions, qui deviennent enjeu de l’étude. Dans le cas de l’étude hors classe, Q peut être par exemple : « qu’étudier et que dois-je connaître à propos de telle notion mathématique particulière ? »
La question Q étant posée, un système didactique S(X, Y, Q) se constitue, formé par un ou des élèves xi de X (de fait, en étude hors classe, rarement plus de deux élèves dans les cas que nous étudions) qui étudient, bénéficiant ou non de la fonction d’aide à l’étude portée par Y : Y peut être constitué d’un ou des élèves xi occupant temporairement cette fonction d’aide (un camarade), par une tierce personne (parent, frère, sœur, etc.), par le professeur y ayant antérieurement enseigné et qui n’est présent qu’in absentia. S(X, Y, Q) doit, pour répondre à la question Q, construire un certain milieu M.
Ce milieu est composé, selon Yves Chevallard, d’œuvres du premier type : « notion, un mot ou une phrase, un symbole écrit comme √, une théorie, une réponse à une question, un processus, un outil, une machine, un spectacle, un livre, un poème, une symphonie, un bouton, un lacet, un bâtiment, un escalier en colimaçon, un atome de cobalt, etc. » (Chevallard, 2019a, p. 21) ou bien d’œuvres du second type, qui, quant à elles, se présentent sous la forme de questions (Chevallard, ibid., p. 21).
Soulignons que le milieu M dans le modèle du schéma herbartien, est le milieu tel qu’il est advenu lorsque la réponse R♥ a été apportée, à la fin du processus. Ce qui se note sous la forme semi-développée [S(X ; Y ; Q) ➦ M] ➥ R♥. Cependant, cette réponse se construit au fil du temps. De manière plus générale, la confrontation avec n’importe quel média comme le cahier, l’Internet, etc., permet de s’interroger ou de se réinterroger.
En étudiant, l’élève est donc amené à se créer ou à ce qu’on lui crée un milieu d’étude M. Dans M peuvent se trouver des œuvres se comportant ou non comme des médias, des réponses toutes faites « estampillées », validées par une ou des institutions, des données recueillies, et des questions. Les œuvres peuvent être consignées dans des cahiers de leçons, d’exercices de la classe, dans le manuel ou peuvent être numériques : sites Internet, forums de discussion. Le mot « œuvre » étant pris au sens large, il peut aussi s’agir de discussions informelles ou non entre camarades, entre l’élève et sa famille, etc.
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Afin de disposer de davantage d’outils pour analyser le travail personnel des élèves hors classe, il a été nécessaire d’adjoindre à la notion de milieu du schéma herbartien d’autres éléments théoriques, ceux de noyau cognitif et de situations possiblement didactiques, venus des développements récents de la TAD au cours des années 2019 et 2020.
La finalité de la construction d’un milieu d’étude est, bien évidemment, l’acquisition de connaissances pour l’élève x sur l’objet o à étudier ; dans cet article, les aires et les périmètres. L’élève x peut déjà disposer d’une certaine connaissance de o, c’est-à-dire avoir précédemment établi un rapport à o, évalué du point de vue d’une certaine instance : professeur, chercheur, camarade de classe. Dans le cas qui nous occupe, les programmes de cycle 3, publiés en 2016, nous renseignent sur le rapport institutionnel à l’objet « aires et périmètres », dans la partie « connaissances et compétences associées aux grandeurs et mesures ».
Cet exercice relève du type de tâches « convertir des unités d’aires ».
Sarah, qui a déjà rencontré ce type de tâches à l’école primaire, le résout en recourant à la technique du tableau de conversion.
Dans cet exemple, pour le même type de tâches « convertir des unités d’aires », existent deux techniques différentes d’une institution à une autre dans ce cas d’une classe, ou d’un niveau de classe à un autre. À travers l’exercice 31 de leur livre, le rapport qu’établissent Sarah et Déborah, depuis leur position d’élève, au type de tâches « convertir les unités d’aires » ne peut pas être analysé sans tenir compte du rapport institutionnellement attendu dans cette classe. L’institution « classe de Déborah et de Sarah » vit quant à elle au sein d’autres institutions telles que l’institution « collège » ou encore l’institution « collège français1 ».
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Le rapport à la technique permettant d’accomplir un même type de tâches ne relève pas, comme on le voit sur cet exemple de la conversion des unités d’aires, d’un absolu qui transcenderait les institutions dans lesquelles on peut identifier ce type de tâches.
Pour pouvoir définir et analyser ce rapport, Yves Chevallard met en exergue deux éléments indispensables. Tout d’abord, l’existence d’un rapport institutionnel RI (p, o) à l’objet o depuis la position p qui, dans ce cas, constitue la référence dans l’institution, autrement dit la norme institutionnellement attendue et attachée à la position p. Une personne x est, du point de vue de l’instance ŵ, un « bon sujet » de la position (I, p) au temps t en ce qui concerne l’objet o si son rapport personnel R(x, o) est jugé par ŵ conforme, au temps t, au rapport institutionnel R((I, p), o), rapport que l’on note aussi, plus traditionnellement, RI(p, o).
En position p une instance v̂ juge du degré de conformité du rapport à l’objet o par l’élève x. Autrement dit, l’instance v̂ qui peut être une personne (un professeur, un élève) ou une institution (un jury d’examen) se prononce sur la conformité du rapport de x à o par référence, par exemple, au rapport institutionnellement attendu pour x occupant la position p dans I. J’appelle instance une entité - un objet - c’est-à-dire une réalité reconnue par au moins une personne ou une institution (à travers l’une au moins de ses position institutionnelles) - qui peut être soit une personne x, soit une position institutionnelle (I, p). Je désigne généralement une instance par une lettre surmontée d’un accent circonflexe.
Dans sa copie de contrôle, et pour calculer l’aire d’un rectangle de longueur 5 cm et de largeur 3 cm, un élève de la classe de Sarah et Déborah a écrit : « 5 × 3 = 15 cm² ». Du point de vue de cet élève, cette écriture est correcte, car il juge son rapport personnel en position p d’élève conforme au rapport institutionnellement attendu. Depuis sa position institutionnelle de professeur de mathématiques ayant établi un autre rapport à l’écriture de la mesure des grandeurs et aux grandeurs-produits, le professeur considère incorrecte cette écriture, préférant la réponse « 5 cm × 3 cm = 15 cm² ».
Cet exemple nous montre que le jugement d’évaluation dépend de l’instance v̂ depuis laquelle il est porté. L’élève x qui étudie chez lui l’objet « aires et périmètres » poursuit sans doute, contractuellement, l’objectif de faire tendre son rapport personnel vers le rapport institutionnellement attendu.
Le professeur évalue tout d’abord le rapport personnel de l’élève, à travers les informations qu’il prend dans la copie de l’élève. L’instance v̂ peut donc être le professeur, mais on peut aussi avoir v̂ = r̂ où r̂ désigne le chercheur qui juge du degré de conformité du rapport de l’élève avec l’objet considéré, lors des entretiens qu’il fait passer, comme cela a été le cas de l’enquête que nous avons menée. Cependant, avant d’être évalué par son professeur, l’élève x peut, lors de ses révisions dans le cas d’un contrôle, légitimement tenter d’évaluer son propre rapport personnel, puisque le travail qu’il met en œuvre est censé lui permettre de progresser. l’élève a pu convoquer un média, par exemple l’Internet où il travaille des exercices interactifs. Dans cette situation, l’ordinateur corrige ses erreurs et devient instance évaluatrice.
Le quadruplet défini par (x, o, ŝ, v̂) et noté ñ, est appelé noyau cognitif (Chevallard, 2020, p. 91). Lors des entretiens avec les deux élèves, Déborah et Sarah, on a cherché à mettre en évidence des noyaux cognitifs et plus particulièrement, dans ces noyaux, l’index ŝ = (I, p) c’est-à-dire la position institutionnelle qu’il occupe, et l’instance évaluatrice v̂. Nous accordons une attention toute particulière à cette dernière car, lorsque l’élève confronte une réponse estampillée R◊ (R poinçon) à sa question, obtenue à l’aide d’un média, il doit pouvoir juger de sa pertinence.
Pour étudier en situation autonome, l’élève x accomplit un geste δ ou un ensemble de gestes Δ pour construire et agir sur son milieu d’étude. Il peut s’agir de lire son cours, de refaire les exercices de la classe ou encore, de réaliser des exercices supplémentaires. Le geste δ est donc réalisé soit par l’élève lui-même soit par une tierce personne, une aide à l’étude qu’on nomme ŵ. L’instance ŵ2 peut accomplir d’autres gestes. Il peut s’agir de faire réciter ou encore de poser des questions sur la leçon, d’inventer des exercices, tout cela en vue d’accroître le degré de conformité du rapport de x au rapport attendu. Mais si ce geste a une visée d’apprentissage pour ŵ, la convergence vers la conformité institutionnelle n’est pas toujours au rendez-vous, ni même l’apprentissage proprement dit. C’est la raison pour laquelle, est introduite en TAD la notion de situation possiblement didactique.
Une situation possiblement didactique est constituée d’un quadruplet ς = (ñ, ŵ, δ, C) où ñ désigne un noyau cognitif, ŵ est une instance, C sont les conditions de la situation, et δ le geste accompli par ŵ, dans l’objectif de faire apprendre quelque chose à l’élève.
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