Le mouvement d'un projectile, qu'il s'agisse d'un ballon de football, d'un javelot ou d'une balle de golf, suit une trajectoire parabolique gouvernée par sa vitesse initiale et la force de gravité. Comprendre comment calculer la portée, c'est-à-dire la distance horizontale maximale qu'il peut atteindre, est une compétence fondamentale en physique.
Il est essentiel de bien comprendre les concepts fondamentaux avant de plonger dans des calculs détaillés. La clé pour résoudre les problèmes de mouvement de projectile est de traiter les mouvements horizontal et vertical comme deux problèmes indépendants mais liés par le temps.
Les conditions initiales décrivent l'état du projectile à l'instant \(t=0\). Pour un mouvement dans un plan, il faut définir sa position sur les deux axes (\(x_0, y_0\)) et les composantes de sa vitesse sur ces mêmes axes (\(v_{0x}, v_{0y}\)). Ces quatre valeurs sont les points de départ de tous nos calculs.
Prenons l'exemple d'un golfeur qui frappe une balle depuis le sol (\(y_0 = 0\)) avec une vitesse initiale \(v_0 = 50 \, \text{m/s}\) et un angle \(\alpha = 30^\circ\) par rapport à l'horizontale. On négligera les frottements de l'air et on prendra l'intensité de l'accélération de la pesanteur \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\). On choisit un repère cartésien (O, x, y) avec l'axe (Ox) horizontal et l'axe (Oy) vertical orienté vers le haut.
La vitesse horizontale ne changera jamais (dans notre modèle), tandis que la vitesse verticale va diminuer, devenir nulle au sommet, puis devenir de plus en plus négative.
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Cette décomposition est la clé de voûte de la méthode. Elle permet de transformer un problème complexe en 2D en deux problèmes simples en 1D que nous savons déjà résoudre.
Les équations horaires décrivent la position (\(x(t), y(t)\)) et la vitesse (\(v_x(t), v_y(t)\)) du projectile à n'importe quel instant \(t\). On les obtient en appliquant les lois de la cinématique séparément pour le mouvement horizontal (uniforme) et le mouvement vertical (uniformément accéléré).
Les équations horaires d'un projectile lancé depuis l'origine sont :
Cette étape est cruciale car elle fournit les outils mathématiques nécessaires pour répondre à toutes les questions suivantes (temps de vol, portée, hauteur maximale).
L'équation de la trajectoire, obtenue en éliminant le temps \(t\) entre \(x(t)\) et \(y(t)\), est \(y(x) = -\frac{g}{2v_{0x}^2}x^2 + \frac{v_{0y}}{v_{0x}}x\). C'est l'équation d'une parabole, ce qui confirme la forme de la trajectoire.
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Le temps de vol est la durée totale pendant laquelle le projectile est en l'air. Il commence au lancement (\(t=0\)) et se termine lorsque le projectile retombe au sol. La condition de fin est donc que l'altitude du projectile redevienne nulle.
Le temps de vol est entièrement déterminé par le mouvement vertical. Il ne dépend que de la vitesse verticale initiale \(v_{0y}\) et de la gravité \(g\). La vitesse horizontale n'a aucune influence sur le temps que l'objet passe en l'air.
Pour un tir depuis le sol, le temps pour atteindre le sommet (\(t_{\text{montée}}\) où \(v_y=0\)) est la moitié du temps de vol total.
Calcul du temps de vol :\[ y(t) = 0 = (v_0 \sin\alpha) t - \frac{1}{2} g t^2 \]\[ t (v_0 \sin\alpha - \frac{1}{2} g t) = 0 \]Les solutions sont \(t = 0\) et \(t = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}\).\[ t_{\text{vol}} = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g} = \frac{2 \times 50 \times \sin(30^\circ)}{9.81} \approx 5.1 \, \text{s} \]La balle reste en l'air pendant environ 5.1 secondes. C'est une durée réaliste pour un bon coup de golf. Cette valeur est la clé qui va nous permettre de calculer la distance horizontale parcourue.
La portée est la distance horizontale totale parcourue par le projectile. Puisque le mouvement horizontal se fait à vitesse constante, il suffit de multiplier cette vitesse par la durée totale du déplacement, c'est-à-dire le temps de vol.
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En combinant les formules du temps de vol et du mouvement horizontal, on peut trouver une formule directe pour la portée : \(R = v_{0x} \cdot t_{\text{vol}} = (v_0 \cos\alpha) \cdot (\frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}) = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{g}\).
Ce résultat final est l'aboutissement de l'analyse des deux mouvements.
Calcul de la portée :\[ R = v_{0x} \cdot t_{\text{vol}} = (v_0 \cos\alpha) \cdot t_{\text{vol}} = 43.3 \, \text{m/s} \times 5.1 \, \text{s} \approx 221 \, \text{m} \]Une portée de 221 mètres est une excellente frappe pour un golfeur, ce qui montre que les valeurs initiales étaient réalistes.
La portée est souvent la grandeur la plus importante que l'on cherche à déterminer dans un problème de projectile. C'est le résultat concret qui répond à la question "jusqu'où l'objet va-t-il aller ?".
Dans le vide, la portée est maximale pour un angle de 45°. Avec la résistance de l'air, l'angle optimal est en réalité légèrement inférieur, typiquement entre 40° et 44°.
Pour une même vitesse initiale, deux angles complémentaires (par exemple 30° et 60°) donnent la même portée. Cependant, la trajectoire pour l'angle le plus grand sera beaucoup plus haute et le temps de vol plus long.
La règle des 30 degrés est un principe essentiel de sécurité à la chasse. Elle vise à protéger les autres chasseurs en définissant une zone angulaire dans laquelle il est interdit de tirer.
En action de chasse collective, le tir à plus de trente mètres est interdit, sauf consigne particulière du responsable de chasse ou de ses chefs de ligne et sous leur responsabilité. Dans tous les cas, le tir à plus de 100 mètres est interdit.
Lors d'une battue, le chasseur ne doit pas tirer dans la traque, mais seulement lorsque le gibier aura sauté l'allée, au-delà d'un angle de 30° qui garantit la sécurité des voisins. Pour matérialiser un angle de 30° vers la droite, le chasseur effectue 5 pas vers la droite puis 3 pas perpendiculairement et la même chose côté gauche. À la fin du troisième pas, il plante un repère (bâton ou autre). Le gibier sortant de l'enceinte traquée ne pourra être épaulé et tiré qu'après avoir franchi l'angle des 30°.
En cas d'accident, la responsabilité du chasseur ayant tiré dans l'angle des 30° est systématiquement engagée !
Nombre de ces accidents pourraient être évités en respectant une règle de base : celle des 30°. Le chasseur ventre au bois, ne doit pas tirer dans la traque - du moins, c’est généralement énoncé lors des consignes - mais seulement lorsque le gibier aura sauté l’allée, au-delà d’un angle de 30° qui garantit la sécurité des voisins.
En cas de manquements au règlement, "il y a des contraventions en fonction de la gravité des faits" explique Nicolas Rivet. Et "si quelqu'un est dangereux, il peut également y avoir un retrait du permis de chasse, pour une période donnée ou plus longtemps", explique-t-il, rappelant qu'il s'agit de décisions de justice.
Pour des actes graves, ayant par exemple engendré la mort, des peines de prison peuvent être prononcées. En novembre dernier, un chasseur de 77 ans a ainsi été reconnu coupable d'homicide involontaire, et condamné à un an de prison avec sursis, après avoir mortellement blessé un autre chasseur, rapporte Le Parisien. L'homme n'avait pas respecté la règle des 30 degrés.
La principale cause des accidents de chasse vient du non-respect de la règle de l'angle des 30 degrés, "il représente à lui tout seul 60% des accidents lors des chasses au grand gibier."
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